Summary

Description01 Würfelverdoppelung-5.svg	Deutsch: Würfelverdoppelung, Näherungskonstruktion English: Doubling the cube, approximation construction
Date	1 June 2022
Source	Own work
Author	Petrus3743
SVG development InfoField	The SVG code is valid.   This trigonometry was created with GeoGebra by Petrus3743.   This SVG trigonometry uses the path text method.

Näherungskonstruktion

Konstruktionsbeschreibung

Es beginnt mit dem Einheitskreis mit Radius ${\displaystyle |OA|=1=a_{1}}$ um ${\displaystyle O}$ und dem Einzeichnen des Durchmessers ${\displaystyle {\overline {AB}}}$. Als Nächstes wird die dazu senkrecht stehende Mittelachse ${\displaystyle {\overline {CD}}}$ eingetragen. Es folgt jeweils ein Kreisbogen mit Radius ${\displaystyle |OA|}$ um ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$; die Schnittpunkte sind ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle E'}$ bzw. ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle F'}$. Eine nicht eingezeichnete Mittelsenkrechte zwischen ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle E'}$ halbiert den Kreisbogen ${\displaystyle OE'D}$ in ${\displaystyle G}$. Das Lot von ${\displaystyle G}$ auf die Strecke ${\displaystyle {\overline {OD}}}$ trifft diese im Punkt ${\displaystyle H}$. Der Punkt ${\displaystyle I}$ ergibt sich als Schnittpunkt der nicht eingezeichneten Mittelsenkrechten zwischen ${\displaystyle H}$ und ${\displaystyle F'}$ mit dem Kreis.

Weiter geht es mit dem Übertragen des Abstandes ${\displaystyle |IF'|}$ ab ${\displaystyle E}$; dabei erhält man ${\displaystyle J}$ als Schnittpunkt mit dem Kreis. Das Lot von ${\displaystyle J}$ auf die Strecke ${\displaystyle {\overline {OC}}}$ trifft diese im Punkt ${\displaystyle K}$. Der Punkt ${\displaystyle L}$ ergibt sich als Schnittpunkt der nicht eingezeichneten Mittelsenkrechten zwischen ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle F}$ mit dem Kreis. Die abschließende Verbindungstrecke ${\displaystyle {\overline {AL}}}$ schneidet ${\displaystyle {\overline {OC}}}$ in ${\displaystyle M}$ und liefert somit die Strecke ${\displaystyle {\overline {AM}}}$, deren Länge nahezu gleich dem Sollwert ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ ist.

Ergebnis

In GeoGebra werden max. 15 Nachkommastellen angezeigt.

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\text{in GeoGebra konstruierte Länge der Strecke }}\qquad {\overline {AM}}&=&&1{,}259921049894873\;[\mathrm {LE} ]\\-{\text{Sollwert }}\qquad -{\sqrt[{3}]{2}}&=-&&1{,}259921049894873\dots \;[\mathrm {LE} ]\\\hline {\text{absoluter Fehler in GeoGebra nicht evaluierbar }}\qquad F&=&&0{,}000000000000000\dots \;[\mathrm {LE} ]\end{alignedat}}}$

Beispiel zur Verdeutlichung der Fehler

• Bei einem Würfel 1 mit der Kantenlänge a₁ = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 56 min.) wäre bezüglich der konstruierten Kantenlänge a₂ des verdoppelten Würfels 2 kein Fehler evaluierbar.

Somit liegt die Vermutung nahe, dass der absolute Fehler < 1 mm ist.

• Bei einem Würfel 1 mit der Kantenlänge a₁ = 10 km wäre der Fehler des Volumens vom verdoppelten Würfel 2 vermutlich < 0,7 dm³ oder < 1  Liter.

Externe Links

• Frédéric Beatrix, Peter Katzlinger: A pretty accurate solution to the Delian problem, in Parabola 59, 1, 2023, UNSW Sydney S. 1–5

Approximation construction

Construction description

It starts with the (Unit_circle) with radius ${\displaystyle |OA|=1=a_{1}}$ around ${\displaystyle O}$ and drawing in the diameter ${\displaystyle {\overline {AB}}}$. Next, the centre axis ${\displaystyle {\overline {CD}}}$ perpendicular to it is entered. This is followed by an arc of radius ${\displaystyle |OA|}$ around ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$; the intersections are ${\displaystyle E}$ and ${\displaystyle E'}$ or ${\displaystyle F}$ and ${\displaystyle F'}$. An undrawn perpendular bisector between ${\displaystyle D}$ and ${\displaystyle E'}$ bisects the arc ${\displaystyle OE'D}$ in ${\displaystyle G}$. The perpendicular from ${\displaystyle G}$ to the line segment ${\displaystyle {\overline {OD}}}$ meets it at the point ${\displaystyle H}$. The point ${\displaystyle I}$ results from the intersection of the undrawn median perpendicular between ${\displaystyle H}$ and ${\displaystyle F'}$ with the circle.

Continue by transferring the distance ${\displaystyle |IF'|}$ from ${\displaystyle E}$; this gives ${\displaystyle J}$ as the intersection with the circle. The perpendicular from ${\displaystyle J}$ to the line segment ${\displaystyle {\overline {OC}}}$ meets it at the point ${\displaystyle K}$. The point ${\displaystyle L}$ results from the intersection of the not drawn median perpendicular between ${\displaystyle K}$ and ${\displaystyle F}$ with the circle. The final connecting line segment ${\displaystyle {\overline {AL}}}$ intersects ${\displaystyle {\overline {OC}}}$ in ${\displaystyle M}$ and thus yields the line segment ${\displaystyle {\overline {AM}}}$ whose length is almost equal to the nominal value ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$.

Result

A maximum of 15 decimal places are displayed in GeoGebra.

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\text{length of the line constructed in GeoGebra }}\qquad {\overline {AM}}&=&&1.259921049894873\;[\mathrm {unit\;of\;length} ]\\-{\text{setpoint }}\qquad -{\sqrt[{3}]{2}}&=-&&1.259921049894873\dots \;[\mathrm {unit\;of\;length} ]\\\hline {\text{absolute error in GeoGebra not evaluable }}\qquad F&=&&0{,}000000000000000\dots \;[\mathrm {unit\;of\;length} ]\end{alignedat}}}$

Example to illustrate the absolute error

With a cube 1 with the edge length a₁ = 1 billion km (the light would need for this distance approx. 56 min.) the constructed edge length would be a₂ of doubled cube 2 no error evaluable.

It is therefore reasonable to assume that the absolute error is < 1 mm.

• Given a cube 1 with edge length a₁ = 10 km the error of the volume of doubled cube 2 would probably be < 0,7 dm³ or < 1  liter.

External links

• Frédéric Beatrix, Peter Katzlinger: A pretty accurate solution to the Delian problem, in Parabola 59, 1, 2023, UNSW Sydney S. 1–5

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